funciones - matemáticas administrativas

Solución:

Se utiliza la regla de la cadena, ya que tiene una función dentro de una función elevada a una potencia.

Sea la función f(x)= (4x3+3x2-2x4)3

Aplicando la regla de la cadena

Donde:

Y= (4x3+3x2-2x4)3

Dy/du= 3(4x3+3x2-2x4) 2  

U= (4x3+3x2-2x4)

Du/dx= ( 12x2+6x - 8x3 )

Primero se calcula la derivada de la función en el interior del paréntesis y se multiplica por la derivada del exterior.

F'(x)= 3(4x3+3x2-2x4) 2 (  12x2+6x - 8x3 )

F'(x)= (36x2+ 18x - 24x3)  (4x3+3x2-2x4) 2

Conclusión: La derivada de la función es: F'(x)= 36x2+ 18x - 24x3)  (4x3+3x2-2x4) 2

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Formula

Solución: Se utiliza la regla del cociente  u= 3x4 – x2 du/dx=12x3 – 2x (aplicando derivada de una suma

v=x3+6x2 dv/dx = 3x2 + 6x (aplicando derivada de la suma)

Sustituyendo en la formula, la derivada de la función g(x) con respecto a x: g'(x), queda:

f'(x)= (x3+6x2) (12x2 – 2x) - (3x4 – x2)( 3x2 + 12x)

      ----------------------------------------------------        

                           (x3 + 6 x2) 2

f'(x)= 12x6 - 2x4 + 72x5 - 12x3 – (9 x6 + 36 x5 – 3x4 -12 x3)

      ------------------------------------------------------------------------        

                                  (x3 + 6 x2) 2

f'(x)= 12x6 - 2x4 + 72x5 - 12x3 – 9 x6 - 36 x5 + 3x4 - 12x3

      ------------------------------------------------------------------------        

                                  (x3 + 6 x2) 2

f'(x)= 3x6 + 36 x5  + 1 x4

      -------------------------------        

             (x3 + 6 x2) 2

      

Conclusión: la derivada de la función es:        3x6 + 36 x5  + 1 x4

      -------------------------------        

    (x3 + 6 x2) 2

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Solución:

u=5x du/dx=5

v=62x-x3+1 dv/dx= aplicando la formula dau/dx= au lna  du/dx     donde a=6 u=2x-x3+1 du/dx=2-3x2

dv/dx= 62x-x3+1 (2-3x2) Ln 6

Aplicando la formula

F'(x)= 5x[62x-x3+1 (2-3x2) Ln 6]+ 5(62x-x3+1)

Simplificando la ecuacion:

F'(x)= 5(62x-x3+1)[x (2-3x2) Ln 6+1]

Conclusión: El resultado de esta derivada es = F'(x)= 5(62x-x3+1)[x (2-3x2) Ln 6+1]

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Solución: Se utiliza la formula

      Donde  u =2x4 + 2x2 -1

U'=8x3 + 4x

G(x)= 8x3 + 4x

       ----------------

          2x4 + 2x2 -1

      

  

                                                   1

X'=Dx [ ln 2x4 + 2x2 -1] =--------------------Dx [2x4 + 2x2 -1]=

      (2x4 + 2x2 -1)

X'=8x3 + 4x

     -------------  

   (2x4 + 2x2 -1)

Conclusión: Se obtiene que la derivada de la función es : Entonces g(x')= 8x3 + 4x

    --------------------

        (2x4 + 2x2 -1)

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5.

Solucion:

Sea  la función (3x+1)3 .Se utiliza la regla del cociente,  la cual es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del

                        ---------- denominador por el numerador, divididas por el denominador al cuadrado

                          2x+2

Se utiliza la formula:

Donde

u=(3x+1) 3 du/dx= 9(3x+1)2

Aplicando la regla de la cadena y=(3x+1) 3 dy/du=3(3x+1)2

     U=(3x+1) du/dx=3

Dy/dx=3(3x+1)2 (3) = 9(3x+1)2

v=2x+2 dv/dx=2

Sustituyendo los datos en la formula

F'(x)= (2x+2)[ (9)(3x+1)2]- (2) (3x+1)3

          --------------------------------------------

(2x+2) 2

Simplificando operaciones

F'(x)=(18x+18)(3x+1)2 – [(3x+1)3 (2) ]

          -------------------------------------------

    (2x+2) 2

Conclusión: La derivada de la función es F'(x)= )=(18x+18)(3x+1)2 - (2) (3x+1)3/ (2x+2) 2

 Por diferencia Logarítmica.

Solución:

Se usan las leyes logarítmicas

                       (3x+1)3      

Ln f'(x)= ln y = ln -----------------=  Ln= (3x+1)2 – Ln (2x+2)

  2x+2

Ln y =3ln (3x+1) - ln(2x+2)     

La función del denominador esta elevada a una potencia, por ello se multiplica por la misma potencia y la función del denominador queda igual ya que no esta elevada a una potencia.

     1

Aplicando la formula logarítmica   dy=dLnu=------du

     u

d Lny

-------=3Ln(3x+1) - Ln2x+2

  dx

Al aplicar las derivadas correspondientes se obtiene

Dy     9dx 2dx

----= ---------- - -----------------

y    3x+1 2x+2

Ambos componentes contienen dx, al factorizar se tiene que :

Dy     9           2

----=dx ---------- -------------

y    3x+1        2x+2

Al despejar tanto y como dx  para obtener la formula de la derivada se tiene que:

Dy     9           2

----=      ---------- -------------   y

dx    3x+1        2x+2

Se sustituye y se representa la función original, obteniendo el resultado esperado.

  Dy     9           2         (3x+1) 3

F'(x)=  ------  = -------- -------------      ---------------------

dx    3x+1        2x+2          2x+2

Conclusión: La derivada de la función es :

  Dy     9           2         (3x+1) 3

F'(x) =  ------  = -------- -------------      ---------------------

dx    3x+1        2x+2          2x+2

Ejercicio 2. Ingreso real a partir del ingreso marginal

Resuelve el siguiente problema.

    Los ingresos en una tienda de materiales de construcción por la venta de arena están dados por la siguiente función:

En miles de pesos, semanalmente, determine los ingresos reales por la venta del costal de arena 101.

Respuesta:

para determinar el ingreso real por la venta del costal de arena 101 en la tienda de materiales de construcción, se utiliza el concepto de ingreso marginal

Se utiliza la formula:

i(x+1)- i(x)

Queremos saber el producto 101 por lo tanto tenemos QUE:

x+1=101     , x-1= 101-1= 100  x=100

sustituimos la función i(x)= 200x+30 en la formula de ingreso marginal y queda:

i'= (300(x+1)+30) – (300(x)+30), se sustituye el valor de x=100

i'= (300(100+1)+30) – (300(100)+30)

i'= (300(101)+30) – (30030)

i'= (30300+30) – (30030)

i'=30330 – 30030

i'=30330 – 30030 i'= 300

Conclusión: por lo tanto los ingresos reales por venta del costal de arena 101, serian de $300,000 semanales

_ dLn (2x+2)=

U= 2x+2

du=2dx

 2dx

---------

2x+2

Ya que se sustituyo en la formula se procede a realizar las operaciones  multiplicando la primera variable por  las variables del segundo paréntesis y después se multiplica la variable del primer paréntesis por lo del segundo paréntesis y lo mismo se hace en el paréntesis que esta después del signo de menos,  se factor iza y se van sumando o restando las variables que tengan el mismo exponente  para simplificar.

U= (3x+1)

du=3

3(3)dx

---------

3x+1

 9dx

---------

3x+1

U=2x4 + 2x2 -1

Primero se busca la derivada de u, la cual se obtiene multiplicando la variable 2x4 por el exponente a la que esta elevada , en este caso4  y se va a aplicar la formula la formula un= nun-1  para el exponente al que esta elevada la variable dando como resultado 8x3 y se realiza el  mismo procedimiento con la segunda variable quedando 4x y en la variable de -1 la derivada es 0 . Teniendo como resultado de la derivada de u .

u'=8x3 + 4x

Se sustituyen los datos en la formula y el resultado se obtiene teniendo en el nominador la derivada de u (u'), y en el denominador u.

d Lny       1

-------=--------= d3ln (3x+1)=

Dx          y   

Se buscan los valores de u, du/dx, v, dv/dx, para esta ultima variable se va a tomar en cuenta solo lo que esta dentro del paréntesis  buscando los valores de a, u , du/dx ; utilizando la formula:

Dau   du

------= au Lna  -------

  Dx   dx

Se sustituyen los datos en la formula y se simplifica